Qual a importância de Wittgenstein?

O filósofo enigmático, difícil de compreender, pertence à escola de pensamento da chamada "Filosofia Analítica". O foco é a lógica, a linguagem, a representação, a relação entre pensamento e realidade.
O aspecto curioso em Wittgenstein, é o de que em sua filosofia haveria uma espécie de divisor de águas entre o início de seu pensamento voltado para as questões lógicas (Tractatus Logico-Philosophicus), e a virada pragmática em direção aos jogos de linguagem em seus usos cotidianos (Investigações Filosóficas).
A questão geral por detrás de ambas as vertentes, é a relação entre pensar e como esse pensar organiza o que há para ser conhecido e dito. Não se espere dele nenhum tipo de engajamento social ou político, Wittgenstein não tem uma filosofia política.
Mas o lógico que nele habita convive com a dúvida com relação ao que é místico, ético, impossível de ser enquadrado sob forma lógica.
Pensar é representar a realidade por meio de formas lógicas, em especial proposições como "Isso está (é) assim", ou "Chove agora", ou "Aqui está uma mão". Para essas proposições serem válidas, é preciso que elas retratem ou espelhem algo objetivável e que esteja de acordo com as regras de uma linguagem.
O que mudou?
Para falar, compreender, fazer sentido, há necessidade de contexto de fala, alguém de fato dizendo isso, e com esse dizer querendo significar algo. Claro que as regras são necessárias, mas não são regras de encadeamento lógico e sim regras da gramática de uma língua, quer dizer, não formas rígidas e sim uma linguagem que foi aprendida, que é usada, cujos significados variam conforme quem diz o que, para quem, em que situação.
Assim, a limpa e rígida proposição lógica seria uma possibilidade, como há possibilidade de, com números, calcular. Os usos da linguagem são inúmeros, não se encerram em regras para construir proposições verdadeiras ou falsas. 
Os jogos de linguagem não têm núcleo, são múltiplos.
"Aqui está uma mão" demanda não só uma frase da língua portuguesa compreensível pelos falantes, mas leva a perguntar pelo que se quer dizer em cada uso específico.
É possível imaginar vários contextos para aquele jogo de linguagem, de tal modo que com Wittgenstein se abre toda uma perspectiva para a Filosofia, a de considerar o comum, o ordinário, o sem mistério de questões como mente e pensamento como pura abstração, como privados. Não há linguagem privada, só a que foi aprendida e com ela pode-se tudo: reclamar, rezar, implorar, afirmar, negar, calcular, sonhar, pensar, filosofar, criar, ensinar, etc., etc.

1889-1951

E nisso reside a importância do filósofo: o banal, o comum, o cotidiano é o que temos, nossos recursos são banais e ao mesmo tempo surpreendentes!